contoh bilangan rasional dan irasional

Posted on

Pengertian Bilangan Rasional dan Irasional serta Contohnya

Bilangan rasional dan irasional merupakan 2 jenis bilangan yang merupakan bagian dari sistem bilangan real (). Berikut dijelaskan mengenai pengertian, sifat, dan contohnya masing-masing.

A. Pengertian Bilangan Rasional (ℚ)

Bilangan rasional adalah sistem bilangan yang merupakan himpunan dari semua bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b dengan a, b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0. Secara fundamental bilangan rasional berasal dari bahasa inggris yaitu rational karena bilangan ini dapat dinyatakan dalam bentuk perbandingan (rasio). Ahli matematika memberikan simbol  untuk bilangan rasional.

Misalnya:

Bilangan 1,2 termasuk bilangan rasional, karena dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan berikut

bilangan rasional

1,2 dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan 12/106/5, ataupun bentuk pecahan lain yang memenuhi a/b dengan a, b (bilangan bulat) dan b ≠ 0. Sehingga 1,2 termasuk bilangan rasional.

A1. Contoh Bilangan Rasional

Bilangan a/b Rasional
0 0/1 Ya
1,2 6/5 Ya
4 4/1 Ya
0,45 45/100 Ya
√3 (tidak ada) Tidak
30% 30/100 Ya

A2. Sifat-Sifat Bilangan Rasional

Bilangan rasional dapat didefinisikan untuk setiap pecahan rasional merupakan bilangan rasional dalam bentuk pecahan, maka berlaku sifat-sifat berikut:

  1. Dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b dengan a, b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0
  2. Tertutup, terhadap operasi penjumlahan dan perkalian

    Penjumlahan dan perkalian antar bilangan rasional juga menghasilkan bilangan rasional.

    1. penjumlahan bilangan rasional menghasilkan bilangan rasional.
      
      perkalian bilangan rasional menghasilkan bilangan rasional.
    2. Komutatif, terhadap operasi penjumlahan dan perkalian 

      Penjumlahan dan perkalian antar bilangan rasional mempunyai sifat komutatif, yang dapat dirumuskan sebagai berikut.

      sifat komutatif bilangan rasional
    3. Asosiatif, terhadap operasi penjumlahan dan perkalian

      Penjumlahan dan perkalian antar bilangan rasional mempunyai sifat asosiatif, yang dapat dirumuskan sebagai berikut.

      sifat asosiatif pada bilangan rasional
    4. Distributif

      Bilangan rasional mempunyai sifat distributif, yang dapat dirumuskan sebagai berikut.

      Sifat distributif bilangan rasional
    5. Punya elemen identitas penjumlahan dan perkalian
      • Bentukelemen identitas penjumlahan adalah elemen identitas penjumlahan bilangan rasional, karena setiap x bilangan rasional yang dijumlahkan dengan elemen identitas penjumlahan hasilnya adalah x bilangan rasional itu sendiri.
        identitas penjumlahan pada bilangan rasional
      • Bentuk identitas perkalian bilangan rasional adalah elemen identitas perkalian bilangan rasional, karena setiap x bilangan rasional yang dikalikan dengan identitas perkalian bilangan rasional hasilnya x bilangan rasional itu sendiri.
        identitas perkalian terhadap bilangan rasional
    6. Setiap elemen punya invers terhadap operasi penjumlahan dan perkalian

      Setiap bilangan rasional mempunyai elemen invers terhadap operasi penjumlahan dan perkalian. Sehingga setiap bilangan rasional yang dioperasikan dengan invers menghasilkan elemen identitas.

      • Bentuk invers penjumlahan bilangan rasional adalah invers penjumlahan untuk setiap bilangan rasional bilangan rasional ab, sehingga berlaku persamaan berikut.
        operasi invers penjumlahan bilangan rasional
      • Bentuk invers perkalian adalah invers perkalian untuk setiap bilangan rasional bilangan rasional ab≠ 0, sehingga berlaku persamaan berikut.
        operasi invers perkalian bilangan rasional
    7. Perkalian dengan Nol (0)

      Perkalian bilangan rasional dengan angka nol menghasilkan angka nol, sehingga berlaku persamaan berikut.

      perkalian dengan nol
    8. Mempunyai bentuk desimal berulang

      Bilangan rasional mempunyai bentuk desimal berulang.

      Contoh: 
      1 = 1,0000000 ...
      1/3 = 0,333333 ...
      12/11= 1,090909 ...
      13/3 = 4,333333 ...

    B. Pengertian Bilangan Irasional

    Bilangan irasional adalah sistem bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b dengan a, b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0, namun dapat dinyatakan dalam bentuk desimal.

    B1. Contoh Bilangan Irasional dan Penjelasannya

    Bilangan a/b irasional
    √2 = 1,4142 … Tidak ada Ya
    √3 = 1,7320 … Tidak ada Ya
    √4 = 2 2/1 Tidak
    π = 3,14159 … Mendekati 22/7 Ya
    e = 2,71828 … Tidak ada Ya
    0,25 1/4 Tidak

    B2. Sifat-Sifat Bilangan Irasional

    Secara umum bilangan irasional mempunyai sifat sebagai berikut:

    1. Tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b dengan a, b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0
    2. Memenuhi Sifat Komutatif Penjumlahan dan Perkalian

      Misalnya a dan b adalah bilangan irasional, maka berlaku sifat komutatif untuk operasi penjumlahan dan perkalian.

      Sifat komutatif penjumlahan:
      a + b = b + a
      Sifat Komutatif Perkalian:
      a × b = b × a
    3. Memenuhi Sifat Asosiatif Penjumlahan dan Perkalian

      Misalnya a, b, dan c adalah bilangan irasional, maka berlaku sifat asosiatif untuk operasi penjumlahan dan perkalian.

      Sifat asosiatif penjumlahan:
      (a + b) + c = a + (b + c)
      Sifat asosiatif perkalian:
      (a × b) × c = a × (b × c)
    4. Memenuhi Sifat Distributif terhadap Penjumlahan dan Pengurangan

      Misalnya a, b, dan c adalah bilangan irasional, maka berlaku sifat distributif.

      Sifat distributif terhadap penjumlahan:
      a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
      Sifat distributif terhadap pengurangan:
      a × (b – c) = (a × b) – (a × c)

      Artikel terkait: Sifat Komutatif, Asosiatif, dan Distributif pada Operasi Hitung

    5. Punya Elemen Identitas

      Elemen identitas pada bilangan irasional sama dengan elemen identitas pada bilangan real, yaitu 0 untuk operasi penjumlahan dan 1 untuk operasi perkalian.

      Contoh: suatu bilangan irasional √2 memenuhi
      Identitas penjumlahan
      √2 + 0 = √2
      Identitas perkalian
      √2 × 1 = √2
    6. Setiap Elemen Punya Invers

      Invers bilangan irasional suatu bilangan dapat dihitung berdasarkan konsep pecahan, perlu dicatat bentuk pecahan a/b bilangan irasional “tidak memenuhi” a dan b = bulat. Perlu diketahui suatu bilangan yang dioperasikan dengan suatu operasi dengan inversnya menghasilkan elemen identitas operasi yang digunakan.

      Contoh:

      Π adalah bilangan irasional yang dapat ditulis sebagai Π/1.
      Maka invers perkalian dari Π adalah 1/Π
      Maka invers penjumlahan dari Π adalah -Π
      
      √3 adalah bilangan irasional yang dapat ditulis sebagai √3/1.
      Maka invers perkalian dari √3 adalah 1/√3
      Maka invers penjumlahan dari √3 adalah -√3
      
    7. Operasi Perkalian dengan Nol menghasilkan Nol

      Setiap bilangan irasional yang dikalikan dengan nol akan menghasilkan angka nol.

    8. Tidak mempunyai bentuk desimal berulang

      Bilangan irasional tidak membentuk pola berulang

      Contoh √2 = 1,414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836055850737212644121497099935831... 
      Hingga digit ke-2 juta, pola berulang dari √2 belum juga ditemukan.
      Perhitungan dilakukan oleh Robert Nemiroff (George Mason University and NASA Goddard Space Flight Center) dan diperiksa oleh Jerry Bonnell (University Space Research Association and NASA Goddard Space Flight Center).
    9. Mempunyai bentuk akar tidak sempurna dengan hasil desimal tidak berulang

      Bentuk akar tidak sempurna adalah bentuk akar yang menghasilkan nilai tidak bulat.

      Contoh:

      √2 = 1.4142135...
      √3 = 1.7320508... 
      √5 = 2.236067...
    10. Mempunyai sifat tidak tertutup

      Sifat tidak tertutup pada bilangan irasional disebabkan karena operasi penjumlahan dan perkalian antar bilangan irasional dapat menghasilkan bilangan rasional.

      Contoh:

      √2 × √2 = √4 = 2; hasil rasional
      √2 × √3 = √6; hasil tetap irasional

Leave a Reply

Your email address will not be published.